统计学 | 如何理解数学模型

数学模型到底是什么？

非线性回归的关键在于将模型拟合至数据中，这就提出了一个问题：什么是模型？

数学模型是对物理、化学或生物状态或过程的描述。使用模型可帮助思考化学和生理过程或机制，因此你可设计更好的实验并理解结果。将一个模型拟合到你的数据，将获得可在模型背景中进行解读的最佳拟合值。

“数学模型既不是假设，也不是理论。与科学假说不同，模型不能通过实验直接验证。因为所有模型既真又假....模型的验证并非说它是“真的”，而是它产生了与重要问题相关的良好的可检验假设。”——R. Levins, Am.，《科学家》54：421-31，1966

使用模型的目的不一定是完美描述系统。一个完美模型可能有太多有用的参数。相反，目的是找到尽可能简单的模型来描述自己的实验体系。我们希望一个模型足够简单，这样就能使模型拟合到数据，但又得足够复杂，以与的数据很好地拟合并给到一些参数，以帮助自己理解体系，得出有效的科学结论，并设计新的实验。

基于三个示例模型进行学习。

我们一起来了解数学模型的作用概念，下文简要描述了三个常用模型：

No.1 作为浓度函数的光密度

背景：比色化学分析基于一个简单的原理。向样本中加入适当的反应物，引发化学反应，反应产物是有色物质。终止反应时，有色产物的浓度与待检测的物质的初始浓度成正比。

模型：由于光密度与有色物质的浓度成正比，光密度也与所检测的物质的浓度成正比。

现实检查：从数学上讲，该方程适用于任何x值。但结果仅当某些值下才有意义。

1)负的X值没有意义，因为浓度不能是负值；

2)反应不再受物质浓度限制时，该模型可能在高物质浓度下失效；

3)如果溶液变得非常暗（光密度非常高），以至于几乎没有光到达检测器，则模型在高浓度下也可能失败。此时，仪器的噪声可能超过信号；

一个模型只适用于一定范围的值是很正常的。您只需要意识到这些限制，不要试图使用超出其有用范围的模型。

No.2 指数衰减

每当某事发生的速度与剩余的数量成正比时，使用指数方程。例如，配体与受体分离、放射性同位素的衰变和药物的代谢。表示为微分方程：

将微分方程转换成在可定义任何时间的Y值的模型需要一些演算。只有一个函数的导数与指数函数Y成正比。同时对微分方程的两侧进行积分，得到一个新的指数方程，该方程将Y定义为X（时间）、速率常数k和Y在时间为0时的值（Y0）的函数。

No.3 平衡结合

配体与受体相互作用时，或基质与酶相互作用时，结合遵循质量作用定律。

测量结合的量，也就是RL复合物的浓度，将其绘制在Y轴上。改变添加配体的量，我们可假设它与游离配体的浓度（L）相同，因此形成了X轴。一些简单（但乏味）的代数可得出该方程：

不会选择模型怎么办？借力软件程序

非线性回归目的是将模型拟合到数据中。程序会找到模型中参数的最佳拟合值（可能是速率常数、亲和力、受体数量等），从而方便科学地解读这些最佳拟合值。模型的选择是一个基于科学的决定。应根据自己对化学或生理学（或遗传学等）的理解作出判断，而非仅仅基于图表的形状。

一些程序是会自动将数据拟合成数千个方程，然后向你推荐与数据拟合最佳的方程。这样的程序确实很具有吸引力。但有一个问题，这些程序并不了解你的实验科学背景。与数据拟合最佳的方程可能不符合有科学意义的模型，这些方程无法解读参数的最佳拟合值，相应地结果就不大可靠。

如果你的目的是简单地为模拟或插值创建一条平滑的曲线，那可以让程序帮你推荐选择模型。这样，我们可以不关注参数的值或模型的意义，只需要关注曲线是否很好地拟合数据，且不会产生过大摆动，就OK了。

但，曲线拟合的目的是为了将数据拟合到基于化学、物理或生物原理的模型时，不建议直接使用程序推荐的模型。科学决策还是需要基于实验体系来决定，而非计算机的算法。

这里推荐大家了解一下GraphPad Prism提供的理解模型含义的提示，或许让你的选择更科学。这里用描述酶活性的米氏方程作为底物浓度的函数举例：

Y=Vmax*X/（Km +X）

提示01 确信你知道X和Y的含义和单位

在此示例中，Y为酶活性，根据不同的酶，可用不同单位表示。X为底物浓度，单位为摩尔或微摩尔或其他浓度单位。

提示02 计算参数的单位

在示例方程中，参数Km加到了X上。只需添加用相同单位表示的东西就有意义了，因此Km必须用与X相同的浓度单位表示。这意味着单位在X/（Km+X）中被抵消，因此Vmax必须用与Y相同的酶活性单位表示。

提示03 算出在X极限值下Y的值

因为X为浓度，不能为负。但其可为零。将X=0代入方程，你会发现Y也是零。

让我们也来看看X变得很大时会发生什么。X相比于Km变大时，分母（X+Km）的值与X非常接近。因此，X/（X+Km）接近1.0，Y接近Vmax。因此，X变得非常大时，模型的图表必须在Y=Vmax处趋于平稳。

提示04 算出在X特定值下Y的值

因为Km是以与X相同的单位表示的，可想象下如果X等于Km会发生什么？在此情况下，X/（Km+X）等于0.5，因此Y等于Vmax的一半。这意味着Km是导致速度等于最大速度Vmax一半的底物浓度。

提示05 用不同的参数值绘制模型

绘制一系列具有不同参数值的曲线可帮助我们直观了解参数的含义。如需使用Prism实现这一点，可以使用分析“创建一系列理论曲线”