【原创】Ⅰ型和Ⅱ型错误的概率α与β——我的解读#达人打卡#

关于Ⅰ型和Ⅱ型错误的概率α与β之关系军事医学统计学第一版教材51页有这样一段内容，如下图所示：

我们可以先看一下，这个地方其实涉及到了两个概率密度函数，两条正态分布曲线。两条正态曲线下的总面积都是1，中间是它们各自的均值μ₀和μ。

我们知道对于任意一个假设H₀（无论其是真还是假），不管我们拒绝还是接受它，最终只可能犯一个错误。要么是Ⅰ型错误，要么是Ⅱ型错误。绝无可能同时犯Ⅰ型和Ⅱ型错误，这个很好理解。

我们在做出拒绝或者接受H₀的时候，是基于一个给定的值α，统计学上把它叫作小概率事件发生的概率。

好了。我们接下来，需要思考的是P值。我们知道P值是指从规定的总体H₀中作随机抽样，得到相应统计量的抽样误差大于等于该样本抽样误差的概率。为了便于理解，我们不妨假定这里的统计量就是样本的均值μ。对于正态分布的计量资料总体（我们称其均值为μ总体），我们从中随机抽样，可以得到很多个不同样本，不得不强调的是，这些样本的均值μ（我们称其为μ样本吧，抽了多少个样本，就相应的有多少个μ样本数值，这个容易理解）也会服从正态分布，并且因为是抽样，抽样必然会导致抽样误差ε，抽样误差ε的计算方法很简单，就是（μ样本-μ总体），因为有多个样本，也相应的有多个μ样本数值，这样我们就会得到一组抽样误差ε数值，不得不强调的是，这一组抽样误差ε数值会继续服从正态分布。

现在我结合刚才上面这一段表述给出一个重要的结论：假如所有的样本都是从规定的总体H₀中随机抽取的，那么就会呈现几个正态分布，即所有样本的均值是正态分布的（称其为正态曲线一），所有样本均值的抽样误差是正态分布的（称其为正态曲线二）。只要是从规定的总体H₀中随机抽取的样本，其均值就应该落在正态曲线一上面，其均值的抽样误差就应该落在正态曲线二上面。

我们现在再来看一下上面α与β关系的示意图。为了理解的方便，我们可以假定这里的两条曲线都是关于均值的正态分布曲线（我们不妨称其为曲线A和曲线B），对应于两个不同的总体（我们不妨称为总体一和总体二），相当于是从两个不同的总体中做随机抽样得到的样本均值分布曲线。这是不难理解的。

我们假定现在有一个样本1，其均值为X1。我们的任务是要判断样本1到底来自哪个总体。我们事先并不知道这个样本1是来自总体一还是总体二，事实上是都有可能的，因为上面两条正态曲线有交叉，我们在交叉区域随便取一个均值X，它可能是曲线A的，也可能是曲线B的，不可能有一个完全的定论，所以统计学是实实在在的概率统计学，不会有百分之百的绝对。我们暂且假定H₀规定的就是总体一。如果样本1真的是来自总体一，那么H₀就是一个正确的假设。但现在的问题是我们存在一定的概率会将其拒绝。我们什么时候拒绝呢？当我们从H₀规定的总体一中随机抽取一个样本2，但很不巧，样本2的均值X2竟然落在了曲线A两侧的小概率事件范围内（也就是α所对应的区域）。我们认为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，所以，我们基于给定的α值作出了拒绝。但问题是，样本1确实是来自H₀规定的总体。这时候，我们就会犯下Ⅰ型错误。而假如样本1是来自总体二的，我们继续从H₀规定的总体一中随机抽取一个样本3，样本3的均值X3竟然神奇地落在了曲线A的中间区域（也就是除去α之后的区域），我们基于小概率事件原理，选择接受H₀，认为样本1来自总体一，可问题是样本1确实是来自总体二的，所以我们又犯错了，我们这时犯的错误是Ⅱ型错误，因为我们接受了一个错误的假设。在示意图中，我们可以看到α与β之间有一条竖直线，这是用于划分两者之间界线的。当竖直线右移时，α会增大，而β减小。当竖直线左移时，α会减小，而β增大。我们知道α值是事先确定的，所以理论上讲，这条竖直线的位置也是确定的。我们可以看到曲线B在竖直线左侧的部分就是β所对应的区域，这一块β区域位于曲线A的中间区域（也就是除去α之后的区域），我们基于小概率事件原理，认为样本3的均值属于曲线A，所以作出了错误的判断，而犯错的概率正是β所对应的面积。通过上面的表述，我们会发现α与β之间其实就是一种此消彼长的关系。

我们再深入理解一下P值，我们已经知道P值是指从规定的总体H₀中作随机抽样，得到相应统计量的抽样误差大于等于该样本抽样误差的概率。我们沿用上面的总体一，总体二，曲线A，曲线B，样本1（均值X1），样本2（均值X2），样本3（均值X3）进行分析。样本1的抽样误差是（X1-μ₀），样本2的抽样误差是（X2-μ₀），样本3的抽样误差是（X3-μ₀）。根据定义，P值就是（X2-μ₀）或（X3-μ₀）大于等于（X1-μ₀）的概率。而这个P值是运用相应的统计方法，计算出相应的统计量（是基于样本原始统计量，进一步加工处理之后形成的要去做检验的统计量）以后，利用统计用表或利用统计软件得到的。